Własności prawdopodobieństwa Permutacje, kombinacje, wariacje
Silnia
Histogram |
Diagram kołowy Lista
danych Loteria Dwukrotny
rzut kostką
Kule |
Poniżej znajdziesz zwięzły opis zasad stosowanych przy ocenianiu Twoich rozwiązań.
Przykładowa treść Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, a A i B będą zdarzeniami losowymi, takimi że A⊂Ω i B⊂Ω. Wiedząc, że P(A) = 2/5, P(B) = 1/2, P(A∩B) = 1/9, oblicz P(A'), P(A∪B), P(A\B).
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi.
Przykładowa treść Średnia arytmetyczna liczba 85; 63; 31; 23; 6; 67; 29; 75; 31; 87; 75; x jest równa 53,5. Wyznacz wartość liczby x.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przybliżenie do jednego miejsca po przecinku nie będzie wykonane prawidłowo, ale Twój wynik będzie się różnił od prawidłowego wyniku o mniej niż 0,1, to otrzymasz 80% punktów dostępnych za daną liczbę.
Przykładowa treść Oblicz średnią ważoną liczb: 1; 6; –7; 9 z wagami odpowiednio 0,4; 0,8; 0,1; 0,5.
Rozwiązanie oceniane jest sposobem 0 lub 100%.
Przykładowa treść W konkursie internetowym na blog roku brano pod uwagę: pomysł tematyki bloga z wagą 0,2, sposób prezentacji i nieszablonowość bloga z wagą 0,2, szatę graficzną bloga z wagą 0,4 oraz popularność bloga wśród użytkowników z wagą 0,2. W każdej kategorii oceniano blog w skali od 0 do 10 i punkty zapisano w tabeli. Zwycięstwo przypadło blogowi, który uzyskał więcej punktów po uwzględnieniu wag. Wybierz poprawną odpowiedź. Uzyskaną liczbę punktów wpisz z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przybliżenie do dwóch miejsc po przecinku nie będzie wykonane prawidłowo, ale Twój wynik będzie się różnił od prawidłowego wyniku o mniej niż 0,01, to otrzymasz 80% punktów dostępnych za daną liczbę.
Przykładowa treść Kadrowa firmy przedstawiła na histogramie dane na temat planów urlopowych pracowników na miesiąc lipiec. Wyznacz dominantę zbioru wyników.
Za zaznaczenie prawidłowej opcji otrzymasz 20% punktów. Pozostałe 80% punktów otrzymasz za wypełnienie pustych pól — równą liczbę punktów za każde prawidłowo wypełnione pole.
Przykładowa treść W jednym z biur podróży ceny (w złotych) tygodniowego wyjazdu do Egiptu w ramach majowej oferty last minute kształtowały się następująco: 884, 855, 775, 851, 884, 807, 751, 784, 760, 817, 848, 875, 868, 753. Wyznacz modę zbioru wyników.
Za zaznaczenie prawidłowej opcji otrzymasz 20% punktów. Pozostałe 80% punktów otrzymasz za wypełnienie pustych pól — równą liczbę punktów za każde prawidłowo wypełnione pole.
Przykładowa treść Oblicz następujące wyrażenia.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi.
Przykładowa treść Oblicz następujące wyrażenia.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi.
Przykładowa treść Ile różnych ciągów dziewięcioliterowych można utworzyć ze zbioru liter {a, c, f, g, i, o, q, s, t}, tak żeby litery się nie powtarzały?
Rozwiązanie oceniane jest sposobem 0 lub 100%.
Przykładowa treść W pewnym turnieju bilardowym uczestniczy 12 zawodników, a rozgrywki toczą się systemem gry każdy z każdym. Ile pojedynków zostanie rozegranych w czasie tego turnieju?
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi.
Przykładowa treść Ile jest różnych możliwych wyników w trzykrotnym rzucie sześcienną kostką, przy założeniu, że w każdym rzucie otrzymamy inną liczbę oczek na kostce.
Rozwiązanie oceniane jest sposobem 0 lub 100%.
Przykładowa treść W budynku siedmiopiętrowym 2 osoby wsiadły do windy na parterze (poziomie 0). Na ile sposobów mogą opuścić windę, przy założeniu, że nikt nie zostanie na parterze?
Rozwiązanie oceniane jest sposobem 0 lub 100%.
Przykładowa treść Ile liczb naturalnych dwucyfrowych można utworzyć ze zbioru cyfr {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, jeśli a) cyfry mogą się powtarzać.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi.
Przykładowa treść Na histogramie przedstawiono wzrost uczniów w pewnej klasie. Oblicz średnią arytmetyczną x danych przedstawionych na histogramie. Wyniki podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przybliżenie do dwóch miejsc po przecinku nie będzie wykonane prawidłowo, ale Twój wynik będzie się różnił od prawidłowego wyniku o mniej niż 0,01, to otrzymasz 80% punktów dostępnych za daną liczbę.
Przykładowa treść Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebność. Na jej podstawie narysuj histogram.
Za każdy prawidłowo narysowany słupek otrzymujesz:
1 : (poprawna liczba słupków) · 100% punktów.
Jeśli narysujesz za dużo lub za mało słupków, to od Twoich punktów zostanie odjęte
20% · |różnica między poprawną liczbą słupków a liczbą słupków narysowaną przez Ciebie|.
Przykładowa treść W pewnej miejscowości przeprowadzono badanie demograficzne analizując liczbę dzieci w rodzinach. Zebrane dane przedstawiono w postaci histogramu. Na jego podstawie wypełnij tabelę.
Otrzymujesz punkty za prawidłowo wypełnioną kolumnę tabeli. Ostateczna ocena to:
(liczba prawidłowo wypełnionych kolumn) : (liczba wszystkich kolumn w tabeli) · 100%.
Przykładowa treść Wśród 3900 wybranych uczestników projektu Matematyka Reaktywacja zbadano popularność przeglądarek internetowych używanych do łączenia się z portalem matematycznym. Zebrane dane przedstawiono na diagramie kołowym. Uzupełnij tabelę.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi.
Przykładowa treść W grupie liczącej 43 uczniów 25 uczy się języka włoskiego, 29 uczy się języka hiszpańskiego i 22 uczy się języka francuskiego. Wśród nich 15 uczy się języka włoskiego i hiszpańskiego, 9 uczy się języka włoskiego i francuskiego oraz 17 uczy sie języka hiszpańskiego i francuskiego. Wreszcie 8 uczy się trzech wymienionych języków. Uzupełnij diagram i odpowiedz na pytania.
Za wypełnienie pól na diagramie Venna otrzymasz maksymalnie 40% punktów, przy czym punkty te są przyznawane procentowo za liczbę prawidłowo wypełnionych pól. Jeśli jednak na diagramie będzie się znajdowała zła liczba okręgów, to za diagram Venna otrzymasz 0 punktów bez względu na to, co będzie wpisane w pola diagramu. Za odpowiedzi na pytania otrzymasz maksymalnie 60% punktów, przy czym punkty te są przyznawane procentowo za liczbę prawidłowe odpowiedzi.
Przykładowa treść Grupa uczniów na tablicy zapisała kolejno liczbę swoich znajomych na profilu społecznościowym Facebook. Wyniki były następujące: 99, 99, 99, 95, 99, 90, 90, 90, 99, 99, 90, 95, 99, 99, 99, 95. Na podstawie tego pomiaru oblicz poniższe wielkości. Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli jakaś odpowiedź będzie miała trzy lub więcej liczb po przecinku, to otrzymasz tylko 80% punktów dostępnych za daną odpowiedź.
Przykładowa treść Wybranym losowo uczestnikom projektu Matematyka Reaktywacja zadano pytanie, ile minut dziennie spędzają przed komputerem. Wyniki badania zebrano w szeregu przedziałowym. Oblicz poniższe wielkości. Wyniki podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przybliżenie do dwóch miejsc po przecinku nie będzie wykonane prawidłowo, ale Twój wynik będzie się różnił od prawidłowego wyniku o mniej niż 0,01, to otrzymasz 80% punktów dostępnych za daną liczbę.
Przykładowa treść Losowo wybranej grupie 60 osób zadano pytanie o sposób spędzenia minionego urlopu. Spośród pytanych 45 osób odpowiedziało, że spędziły miniony urlop nad morzem. Oblicz częstość wystąpienia tego wyniku. Wynik wpisz z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przybliżenie wymagane w zadaniu nie będzie wykonane prawidłowo, ale Twój wynik będzie się różnił od prawidłowego wyniku o mniej niż:
0,1 w przypadku przybliżenia do jednego miejsca po przecinku,
0,01 w przypadku przybliżenia do dwóch miejsc po przecinku,
0,001 w przypadku przybliżenia do trzech miejsc po przecinku, itd.
to otrzymasz 80% punktów dostępnych za daną liczbę.
Przykładowa treść Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebność. Oblicz wskazane wielkości. Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przybliżenie do dwóch miejsc po przecinku nie będzie wykonane prawidłowo, ale Twój wynik będzie się różnił od prawidłowego wyniku o mniej niż 0,01, to otrzymasz 80% punktów dostępnych za daną liczbę.
Przykładowa treść W loterii składającej się z 3225 losów zaplanowano: 2 nagrody po 5000zł, 4 nagrody po 150zł, 37 nagród po 100zł, 53 nagrody po 20zł, 509 nagród po 1zł. Oblicz poniższe wielkości. Wyniki podaj z dokładnością dwóch miejsc po przecinku.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przybliżenie do jednego miejsca po przecinku nie będzie wykonane prawidłowo, ale Twój wynik będzie się różnił od prawidłowego wyniku o mniej niż 0,1, to otrzymasz 80% punktów dostępnych za daną liczbę.
Przykładowa treść Pewna firma zatrudnia 20 pracowników. Ich zarobki kształtują się następująco: 1 osoba zarabia 9650zł, 1 osoba zarabia 3420zł, 4 osoby zarabiają 2630zł, 5 osób zarabia 2150zł, 9 osób zarabia 1990zł. Oblicz poniższe wielkości. Wyniki podaj z dokładnością do złotówki.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przybliżenie do jednego miejsca po przecinku nie będzie wykonane prawidłowo, ale Twój wynik będzie się różnił od prawidłowego wyniku o mniej niż 0,1, to otrzymasz 80% punktów dostępnych za daną liczbę.
Przykładowa treść Podczas szkolnej wycieczki do Karpacza grupa 10 uczniów, pod opieką wychowawcy i przewodnika studenckiego, wjechała kolejką krzesełkową na szczyt Kopy. Kolejność wsiadania na pojedyncze krzesełka wyciągu była przypadkowa. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, że pierwszy na górnej stacji wyciągu pojawił się opiekun, a ostatni przewodnik.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przy zapisie jakiejś liczby popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 80% punktów dostępnych za tę liczbę.
Przykładowa treść 1 Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo P(A) wystąpienia zdarzenia losowego A, gdzie A — suma oczek, które wypadły na kostkach jest nie mniejsza niż 9. Zaznacz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A oraz podaj jego moc |A|.
Za poprawne wyliczenie mocy zbioru A (w zadaniu mogą też występować dwa zbiory i zdarzenie A∩B, A/B itp.) otrzymasz 25% punktów. Za poprawne wyliczenie prawdopodobieństwa zbioru A otrzymasz 25% punktów. Pozostałe 50% punktów przyznawane jest za zaznaczenie odpowiednich wyników podwójnego rzutu kostką w następujący sposób:
[ (liczba prawidłowo zaznaczonych par) – 2 · (liczba błędnie zaznaczonych par) ] : |A| · 50%.
Powyższy wynik jest dodawany do punktów uzyskanych za moc i prawdopodobieństwo zbioru A. Może się zdarzyć, że liczba punktów uzyskanych za zaznaczenie par podwójnego rzutu będzie ujemna!
Przykładowa treść 2 Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Niech A i B będą następującymi zdarzeniami:
A — suma oczek, które wypadły na kostkach jest większa niż 5.
B — w pierwszym rzucie wypadła liczba oczek nie mniejsza niż 3.
Oblicz prawdopodobieństwo P(A∩B).
Rozwiązanie oceniane jest sposobem 0 lub 100%.
Przykładowa treść 1 Rzucamy najpierw symetryczną monetą (O — orzeł, R — reszka), a następnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo P(A) zdarzenia A — na kostce wypadło co najmniej 5 oczek. Zaznacz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A oraz podaj moc zbiorów |A| oraz |Ω|.
Za poprawne wyliczenie mocy każdego ze zbiorów A oraz Ω otrzymasz po 17% punktów. Za poprawne wyliczenie prawdopodobieństwa zbioru A otrzymasz 16% punktów. Pozostałe 50% punktów przyznawane jest za zaznaczenie odpowiednich wyników rzutów w następujący sposób:
[ (liczba prawidłowo zaznaczonych rzutów) – 2 · (liczba błędnie zaznaczonych rzutów) ] : |A| · 50%.
Powyższy wynik jest dodawany do punktów uzyskanych za moce zbiorów i prawdopodobieństwo. Może się zdarzyć, że liczba punktów uzyskanych za zaznaczenie rzutów będzie ujemna!
Przykładowa treść 2 Rzucamy najpierw sześcienną kostką, a następnie dwiema monetami o różnych nominałach. Oblicz prawdopodobieństwo P(A) zdarzenia: A — wypadła co najmniej jedna reszka.
Rozwiązanie oceniane jest sposobem 0 lub 100%.
Przykładowa treść 1 W pudełku znajdują się kule: 8 kul zielonych i 3 kule czerwone. Losujemy kolejno bez zwracania 2 kule. 1) Oblicz prawdopodobieństwo p1, że wylosowano 2 kule różnego koloru.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przy zapisie jakiejś liczby popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 80% punktów dostępnych za tę liczbę.
Przykładowa treść 2 W dwóch ponumerowanych pudełkach znajdują się kolorowe kule. W pudełku nr 1 mamy 5 kul zielonych i 5 kul czerwonych, w pudełku nr 2 mamy 7 kul zielonych i 4 kule czerwone. Pudełko wybieramy losowo, każde z nich może być wybrane z jednakowym prawdopodobieństwem. 1) Zilustruj wszystkie możliwe wyniki losowania za pomocą drzewa. 2) Oblicz prawdopodobieństwo p1, że wylosowano kulę zieloną.
Pierwsze 50% punktów jest rozdzielne procentowo i odpowiada liczbie poprawnie wyliczonych prawdopodobieństw. Ponadto, jeśli przy zapisie jakiegoś prawdopodobieństwa popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 80% punktów dostępnych za tę liczbę.
Pozostałe 50% punktów otrzymujesz za poprawne narysowanie drzewka według wzoru:
50% · [ (liczba poprawnie narysowanych gałęzi drzewka) – 0,9 · (liczba nieuzupełnionych lub źle wypełnionych pól gałęzi drzewka) ]
: (liczba gałęzi drzewka).
Przykładowa treść 1 Do przychodni zgłaszają się osoby, które chcą się zaszczepić przeciw grypie. Do wyboru są dwie szczepionki: Flu-A oraz Flu-B. Szczepionka Flu-A zapobiega grypie w 92% przypadków, natomiast Flu-B w 95% przypadków. Wiadomo również, że 80% pacjentów przychodni wybiera szczepionkę Flu-A (bo jest tańsza). Odpowiedz na pytanie (wynik zapisz z dokładnością do 3 miejsc po przecinku). 1) Oblicz prawdopodobieństwo, że pacjent, który zaszczepi się w tej przychodni, nie uniknie grypy.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przy zapisie jakiejś liczby popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 80% punktów dostępnych za tę liczbę.
Przykładowa treść 2 Do przychodni zgłaszają się osoby, które chcą się zaszczepić przeciw grypie. Do wyboru są dwie szczepionki: Flu-A oraz Flu-B. Szczepionka Flu-A zapobiega grypie w 88% przypadków, natomiast Flu-B w 97% przypadków. Wiadomo również, że 93% pacjentów przychodni wybiera szczepionkę Flu-A (bo jest tańsza). Zilustruj zadanie za pomocą drzewa (w polach wprowadź ułamki dziesiętne). Odpowiedz na pytanie (wynik zapisz z dokładnością do 3 miejsc po przecinku). 1) Oblicz prawdopodobieństwo, że pacjent, który zaszczepi się w tej przychodni, nie uniknie grypy.
Pierwsze 50% punktów jest rozdzielne procentowo i odpowiada liczbie poprawnie wyliczonych prawdopodobieństw. Ponadto, jeśli przy zapisie jakiegoś prawdopodobieństwa popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 80% punktów dostępnych za tę liczbę.
Pozostałe 50% punktów otrzymujesz za poprawne narysowanie drzewka według wzoru:
50% · [ (liczba poprawnie narysowanych gałęzi drzewka) – 0,9 · (liczba nieuzupełnionych lub źle wypełnionych pól gałęzi drzewka) ]
: (liczba gałęzi drzewka).