Zasady oceniania
Geometria analityczna na płaszczyźnie


Spis treści

Punkty

Rysowanie punktów
Współrzedne punktu
Wyznaczanie punktu

Wektory

Działania na wektorach
Kombinacja wektorowa
Wektory. Tabelka
Zadanie z treścią

Prosta

Równanie prostej
Przekształcanie równania prostej
Prosta. Tabelka
Prosta. Zadanie z parametrem
Odległość
Rysowanie prostej
Przecięcie prostych

Okrąg

Równanie okręgu
Równanie okręgu przechodzącego przez trzy punkty
Równanie okręgu odczytane z wykresu
Styczne do okręgu
Styczna i odcinek
Rysowanie okręgu
Rysowanie zbioru na płaszczyźnie

Inne

Trójkąt
Równoległobok

Poniżej znajdziesz zwięzły opis zasad stosowanych przy ocenianiu Twoich rozwiązań.

Punkty

Rysowanie punktów

Przykładowa treść Narysuj podane punkty A = (7 ; 2), B = (–2 ; –6)

Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie elementów.

Współrzędne punktu

Przykładowa treść Punkt Q = (3 ; 10) jest środkiem odcinka AB. Znajdź współrzędne punktu A wiedząc, że B = (–3 ; 10).

Otrzymujesz po 50% punktów za każdą prawidłowo wprowadzoną współrzędną wektora. Ponadto otrzymasz tylko 40% punktów za daną współrzędną, jeśli będzie to liczba zawierająca w zapisie pierwiastek, a Ty nie przedstawisz jej w najprostszej postaci.

Wyznaczanie punktu

Przykładowa treść Dany jest punkt A = (–2 ; –2). Wyznacz na osi OY taki punkt P, aby |AP| = |OP|, gdzie O jest początkiem układu współrzędnych. Wynik zapisz w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego. 

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto, jeśli przy zapisie jakiejś liczby popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 80% punktów dostępnych za tę liczbę.

Wektory

Działania na wektorach

Przykładowa treść Znajdź różnicę wektorów .

Otrzymujesz po 50% punktów za każdą prawidłowo wprowadzoną współrzędną wektora. Ponadto otrzymasz tylko 40% punktów za daną współrzędną, jeśli będzie to liczba zawierająca w zapisie pierwiastek, a Ty nie przedstawisz jej w najprostszej postaci.

Kombinacja wektorowa

Przykładowa treść Wyznacz liczby α i β tak, aby zachodziła równość α[4 ; 3] + β[3 ; 5] = [–4 ; 8].

Otrzymasz 100% punktów za poprawną odpowiedź. Jeśli nie przedstawisz wyniku w najprostszej postaci, to otrzymasz 80% punktów.

Wektory. Tabelka

Przykładowa treść Niech A i B oznaczają punkty na płaszczyźnie. Uzupełnij tabelkę.

W tabelce należy wpisać cztery wektory. Otrzymujesz po 50% punktów za każdą prawidłowo wprowadzoną współrzędną wektora. Ponadto otrzymasz tylko 40% punktów za daną współrzędną, jeśli będzie to liczba zawierająca w zapisie pierwiastek, a Ty nie przedstawisz jej w najprostszej postaci. Punkty są sumowane i dzielone przez 10 — to jest ocena za wektory.

W tabelce należy też wpisać dwie długości. Za każdą wpisaną liczbę otrzymasz 50% punktów, jeśli będzie ona prawidłowa i 40% punktów, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd. Punkty są sumowane i mnożone przez 0,6 — to jest ocena za długości.

Ostateczna ocena to suma oceny za wektory i oceny za długości.

Zadanie z treścią

Przykładowa treść Łódka płynie rzeką, kierując się względem brzegu zgodnie z kierunkiem prądu rzeki. Prędkość prądu rzeki wynosi V1 = 2,9 m/s, a prędkość łódki wynosi V2 = 6,7 m/s. Oblicz prędkość V z jaką porusza się łódka względem brzegu rzeki. Wynik podaj z dokładnością do 2 miejsc po przecinku.

Rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%.

Prosta

Równanie prostej

Przykładowa treść Napisz równanie ogólne prostej l o danym współczynniku kierunkowym al i przechodzącej przez punkt P = (–2 ; –20).

Jeśli równanie prostej jest poprawne, to otrzymasz 100% punktów. Jeśli napiszesz prawidłowe równanie kierunkowe w postaci x = ay + b, a możliwa była postać y = cx + d, to otrzymasz tylko 50% punktów.

Przekształcanie równania prostej

Przykładowa treść Napisz równanie ogólne prostej l: y = 5x + 7.

Jeśli równanie prostej jest poprawne, to otrzymasz 100% punktów. Jeśli napiszesz prawidłowe równanie kierunkowe w postaci x = ay + b, a możliwa była postać y = cx + d, to otrzymasz tylko 50% punktów.

Prosta. Tabelka

Przykładowa treść Uzupełnij brakujące wartości wiedząc, że prosta k przechodzi przez punkty A, B.

Otrzymasz 100% punktów za poprawną odpowiedź. Jeśli nie skrócisz ułamków, to otrzymasz 80% punktów.

Prosta. Zadanie z parametrem

Przykładowa treść Dla jakiej wartości parametru m prosta dana równaniem 6x + my – 9 = 0 jest równoległa do prostej o równaniu 5x + 3y – 4 = 0.

Rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%. Ponadto, jeśli przy zapisie liczby popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 80% punktów.

Odległość

Przykładowa treść Oblicz odległość punktu A = (–2 ; –3) od prostej l: –5x + 5y + 6 = 0. Przy wprowadzaniu odpowiedzi do formatki pamiętaj o usunięciu ewentualnej niewymierności z mianownika.

Otrzymasz 100% punktów za poprawną odpowiedź. Jeśli nie przedstawisz wyniku w najprostszej postaci, to otrzymasz 80% punktów.

Rysowanie prostej

Przykładowa treść Narysuj prostą daną równaniem ogólnym –9x – y + 5 = 0.

Rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%.

Przecięcie prostych

Przykładowa treść Wyznacz graficznie punkt przecięcia następujących prostych: –8x – y – 38 = 0 oraz –8x – y – 41 = 0. Wynik zapisz w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego.

Za prawidłowo wykreślone proste otrzymasz 50% punktów. Za prawidłowy wniosek — 50% punktów, przy czym w przypadku, gdy układ ma jedno rozwiązanie, otrzymasz 25% punktów za zaznaczenie prawidłowego typu rozwiązania i 25% punktów za podanie prawidłowego rozwiązania. Ponadto, jeśli przy zapisie liczby popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 80% dostępnych za nią punktów.

Okrąg

Równanie okręgu

Przykładowa treść 1 Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S = (8 ; 8) i promieniu 2.

Przykładowa treść 2 Napisz równanie okręgu, który jest obrazem okręgu (x – 2)2 + (y + 4)2 = 9 w symetrii względem osi OX (lub w symetrii względem osi OY lub w symetrii względem punktu (0 ; 0) lub w przesunięciu o wektor v = [–4 ; 0]).

Do równania okręgu musisz wpisać współrzędną x, współrzędną y oraz promień okręgu. Za każdą prawidłowo wpisaną współrzędną otrzymasz 40% punktów, za promień — 20% punktów. Jeśli przy zapisie którejś z tych trzech liczb popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 90% punktów dostępnych za tę liczbę.

Przykładowa treść 3 Napisz równanie okręgu o środku w punkcie (9 ; 1) wiedząc, że punkt A = (–10 ; –1) należy do tego okręgu.

Przykładowa treść 4 Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB, gdzie A = (7 ; –1) oraz B = (1 ; –1).

Przykładowa treść 5 Napisz równanie kanoniczne okręgu danego równaniem ogólnym x2 + y2 + 4x – 2y – 3 = 0.

Przykładowa treść 6 Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o wierzchołkach mających współrzędne (0 ; 0), (0 ; –8), (–6 ; 0).

Do równania okręgu musisz wpisać współrzędną x, współrzędną y oraz promień okręgu. Za każdą prawidłowo wpisaną współrzędną otrzymasz 30% punktów, za promień — 40% punktów. Jeśli przy zapisie którejś z tych trzech liczb popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 90% punktów dostępnych za tę liczbę.

Równanie okręgu przechodzącego przez trzy punkty

Przykładowa treść Napisz równanie kanoniczne okręgu przechodzącego przez punkty A = (3 ; –2), B = (–4 ; –1), C = (–5 ; –8).

Do równania okręgu musisz wpisać współrzędną x, współrzędną y oraz promień okręgu. Za każdą prawidłowo wpisaną współrzędną otrzymasz 40% punktów, za promień — 20% punktów. Jeśli przy zapisie którejś z tych trzech liczb popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 90% punktów dostępnych za tę liczbę.

Równanie okręgu odczytane z wykresu

Przykładowa treść 1 Na podstawie narysowanego poniżej wykresu prostej l znajdź jej równanie ogólne (lub kierunkowe).

Jeśli równanie prostej jest poprawne, to otrzymasz 100% punktów. Jeśli napiszesz prawidłowe równanie kierunkowe w postaci x = ay + b, a możliwa była postać y = cx + d, to otrzymasz tylko 50% punktów.

Przykładowa treść 2 Na podstawie narysowanego poniżej wykresu okręgu napisz jego równanie kanoniczne.

Do równania okręgu musisz wpisać współrzędną x, współrzędną y oraz promień okręgu. Za każdą prawidłowo wpisaną współrzędną otrzymasz 40% punktów, za promień — 20% punktów. Jeśli przy zapisie którejś z tych trzech liczb popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 90% punktów dostępnych za tę liczbę.

Przykładowa treść 3 Na podstawie narysowanego poniżej wykresu prostej l znajdź jej równanie kierunkowe. Następnie wyznacz równanie okręgu o środku S = (0 ; –5) stycznego do prostej l.

W rozwiązaniu należy podać równanie prostej i równanie okręgu. Za każde z tych równań możesz otrzymać maksymalnie 50% punktów i punkty te są przyznawane na zasadach opisanych w dwóch pierwszych przykładach.

Styczne do okręgu

Przykładowa treść Znajdź równania stycznych do okręgu x2 + y2 = 1 poprowadzonych z punktu Q = (1 ; 2).

Jeśli w zadaniu należy podać tylko jedno równanie prostej, to za równanie poprawne otrzymasz 100% punktów. Jeśli napiszesz prawidłowe równanie kierunkowe w postaci x = ay + b, a możliwa była postać y = cx + d, to otrzymasz tylko 50% punktów.

Jeśli w zadaniu należy podać dwa równania prostej, to za każde poprawne równanie otrzymasz 50% punktów (25% jeśli zapiszesz równanie kierunkowe jako x = ay + b, a możliwa była postać y = cx + d).

Styczna i odcinek

Przykładowa treść Oblicz długość odcinka PQ zawartego w stycznej do okręgu o równaniu (x – 4)2 + (y – 9)2 = 2. Styczną poprowadzono z punktu P = (3 ; 4), natomiast Q jest punktem styczności. Przy wprowadzaniu odpowiedzi do formatki pamiętaj o usunięciu ewentualnej niewymierności z mianownika.

Rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%Jeśli wynik jest prawidłowy, ale zapis liczby nie jest optymalny, otrzymasz tylko 80% punktów.

Rysowanie okręgu

Przykładowa treść Narysuj okrąg o równaniu (x – 3)2 + (y – 3)2 = 49.

Za narysowanie okręgu o poprawnym środku otrzymasz 50% punktów. Za okrąg o poprawnym promieniu otrzymasz 50% punktów. 

Rysowanie zbioru na płaszczyźnie

Przykładowa treść Zaznacz zbiór punktów spełniających nierówność (x – 4)2 + (y – 2)2 > 49.

W zadaniu należy narysować jedną z pięciu figur: okrąg, koło domknięte, koło otwarte, domknięte zewnętrze koła lub otwarte zewnętrze koła. Jeśli wybierzesz prawidłową figurę, to otrzymasz 50% punktów za zaznaczenie jej środka w odpowiednim miejscu i 50% punktów za prawidłowy promień. Jeśli narysujesz figurę z nieodpowiednim brzegiem (otwartą zamiast domkniętej lub odwrotnie), to otrzymasz po 25% punktów za prawidłowy środek i promień. 

Inne

Trójkąt

Przykładowa treść Punkty A = (2 ; –1), B = (–4 ; –3), C = (8 ; 9) są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz równanie kierunkowe prostej zawierającej podstawę BC. Oblicz długość tej podstawy.

Za prawodłowo wyznaczone równanie prostej otrzymasz 50% punktów. Jeśli napiszesz prawidłowe równanie kierunkowe prostej w postaci x = ay + b, a możliwa była postać y = cx + d, to otrzymasz tylko 25% punktów. Za prawidłowo wyliczoną długość podstawy (długość wysokości lub pole — w zależności od treści zadania) otrzymasz pozostałe 50% punktów. Jeśli przy zapisie tej liczby popełnisz drobny błąd, to otrzymasz za nią tylko 40% punktów.

Równoległobok

Przykładowa treść Punkty A = (8 ; 5), B = (–2 ; 8), C = (–3 ; –1) oraz D to kolejne wierzchołki równoległoboku. Wyznacz współrzędne wiechołka D. Wynik zapisz w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego.

Jeśli istnieje tylko jeden taki wierzchołek D, to rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%. Ponadto, jeśli przy zapisie liczby popełnisz drobny błąd, to otrzymasz tylko 80% punktów.

Jeśli istnieje więcej niż jeden wierzchołek tworzący równoległobok z podanymi wierzchołkami A, B, C, to ocena wyliczana jest podobnie, jak w metodzie Ocenianie elementów. Różnice są następujące: wzór, według którego liczona jest ocena to:

100% · liczba elementów(R∩U) : liczba elementów[(R∩U)∪(R\U)],

gdzie R jest zbiorem składającym się z wierzchołków w prawidłowym rozwiązaniu, natomiast U jest zbiorem składającym się wierzchołków w Twoim rozwiązaniu. Znak ∩ oznacza część wspólną (przekrój) zbiorów, ∪ jest sumą zbiorów, a \ oznacza różnicę zbiorów.
Ponadto, jeśli podasz mniej wierzchołków niż liczba wierzchołków w prawidłowym rozwiązaniu, to stracisz 80% punktów.