Uporządkuj wielomian
Działania na wielomianach
Wyznacz pierwiastki wielomianu
Metoda grupowania |
Nierówność Wyrażenie
wymierne Homografia Proporcjonalność |
Przykładowa treść Wyrażenie zapisz w postaci uporządkowanego wielomianu.
Jeżeli zadanie polega tylko na uporządkowaniu wielomianu, to rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%.
Jeśli wielomian występujący w zadaniu ma skomplikowaną postać (postać iloczynowa lub złożenie z funkcjami liniowymi), to rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów II.
Przykładowa treść Utwórz wielomian W zmiennej z, znając jego niezerowe współczynniki: a0 = 9; a3 = 5.
Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów.
Przykładowa treść Dany jest wielomian W(x) = x8 + x7 – 7 x6 + 8 x5 + 5 x4 – 6 x3 + x – 3. Wyznacz wskazane wartości. Symbolem an oznaczamy współczynnik wielomianu przy xn.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.
Przykładowa treść Dany jest wielomian W(x) = (–2 x8 + x7 + 4)8 + (2 x8 – 3 x4 + 2)8. Nie wykonując działania, wyznacz stopień wielomianu W(x).
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi.
Przykładowa treść Podaj przykład wielomianu minimalnego stopnia o współczynnikach całkowitych o podanych pierwiastkach: –6; –5; –1; 1.
Program korzysta z następujących parametrów:
s — stopień wielomianu,
up — liczba prawidłowych pierwiastków wielomianu w Twoim rozwiązaniu,
ub — liczba błędnych pierwiastków wielomianu w Twoim rozwiązaniu,
n — wielomian nieuporządkowany: n = 0, gdy wielomian w Twoim rozwiązaniu jest uporządkowany, n = 1, gdy wpiszesz wielomian nieuporządkowany,
r — wielomian niezredukowany: r = 0, gdy wielomian w Twoim rozwiązaniu jest zredukowany, r = 1, gdy wpiszesz wielomian niezredukowany.
Otrzymasz liczbę punktów obliczoną według następującego wzoru:
100% · (up – ub) : p – 10% · (n + r).
Przykładowa treść Odejmij wielomian V(z) od wielomianu W(z).
Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów III.
Przykładowa treść 1 Wykonaj dzielenie wielomianów W i P. W odpowiedzi podaj iloraz dzielenia, a pomiń resztę
Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów V. Ponadto, jeśli wielomian w Twoim rozwiązaniu będzie miał stopień inny niż wielomian w prawidłowym rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.
Przykładowa treść 2 Wykonaj dzielenie z resztą wielomianów W i P.
Pierwsze 50% punktów jest przyznawane za wynik dzielenia wielomianów na zasadzie Ocenianie
wielomianów V. Przy czym, jeśli wielomian będący wynikiem dzielenia w Twoim rozwiązaniu będzie miał stopień inny niż wielomian w prawidłowym rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.
Pozostałe 50% punktów jest przyznawane za resztę z dzielenia wielomianów na zasadzie Ocenianie
wielomianów V.
Przy czym, jeśli wielomian będący resztą z dzielenia w Twoim
rozwiązaniu będzie miał stopień większy niż reszta w prawidłowym
rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.
Przykładowa treść 3 Wykonaj dzielenie z resztą wielomianów W i P oraz sprawdzenie.
Pierwsze 33% punktów jest przyznawane za wynik dzielenia wielomianów na zasadzie Ocenianie
wielomianów V.
Przy czym, jeśli wielomian będący wynikiem dzielenia w Twoim
rozwiązaniu będzie miał stopień inny niż wielomian w prawidłowym
rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.
Drugie 33% punktów jest przyznawane za resztę z dzielenia wielomianów na zasadzie Ocenianie
wielomianów V.
Przy czym, jeśli wielomian będący resztą z dzielenia w Twoim
rozwiązaniu będzie miał stopień większy niż reszta w prawidłowym
rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.
Pozostałe 34% punktów jest przyznawane za sprawdzenie dzielenia na zasadzie Ocenianie
wielomianów V.
Przykładowa treść 4 Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez P.
Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów V. Ponadto, jeśli wielomian w Twoim rozwiązaniu będzie miał stopień większy niż wielomian w prawidłowym rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.
Przykładowa treść 5 Wyznacz taki wielomian W, który przy dzieleniu przez P daje wynik Q i resztę R.
Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów V.
Przykładowa treść Wyznacz parametry a, b oraz c, dla których wielomiany W(x) i P(x) są równe.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.
Przykładowa treść 1 Używając schematu Hornera wyznacz iloraz V(x) i resztę r z dzielenia wielomianu W(x) = 2 x4 + 8 x2 + 10 x – 2 przez x + 1.
30% punktów jest rozdzielone według wzoru Ocenianie wielomianów III za wyliczenie ilorazu V(x). Kolejne 20% punktów jest przyznawane za obliczenie reszty z dzielenia wielomianów. Pozostałe 50% punktów otrzymujesz za wypełnienie tabelki schematu Hornera procentowo za liczbę poprawnych odpowiedzi.
Przykładowa treść 2 Używając schematu Hornera wyznacz wartość wielomianu W(x) = 3 x5 – 6 x4 – 4 x2 + 4 x +7 w punkcie x = 1.
Jeśli poprawnie wyznaczysz wartość wielomianu w punkcie, to otrzymasz 20% punktów. Pozostałe 80% punktów otrzymujesz za wypełnienie tabelki schematu Hornera procentowo za liczbę poprawnych odpowiedzi.
Przykładowa treść Wielomian W(x) daje przy dzieleniu przez x resztę 1, a przy dzieleniu przez x – 5 resztę –44. Wyznacz resztę R(x) z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian V(x) = x (x – 5).
Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów IV.
Przykładowa treść 1 Znajdź pierwiastki wielomianu W(x) = x4 – 4 x3 – 21 x2 – 23 x – 8.
Otrzymasz liczbę punktów obliczoną według wzoru Ocenianie liczb. Ponadto utracisz 20% punktów, jeśli wpiszesz jakiś pierwiastek więcej niż raz.
Przykładowa treść 2 Znajdź krotności podanych pierwiastków wielomianu W(x) = 2 x3 + 13 x2 – 32 x + 17.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi.
Przykładowa treść 3 Znajdź pierwiastki wielomianu W(x) = 4 x3 – 32 x2 + 69 x – 45 i ich krotności.
70% punktów jest przydzielane za prawidłowo wyznaczone pierwiastki według wzoru Ocenianie liczb. Pozostałe 30% punktów jest przydzielane za wypisanie krotności pierwiastków procentowo za liczbę poprawnych odpowiedzi. Ponadto utracisz 20% punktów, jeśli wpiszesz jakiś pierwiastek więcej niż raz.
Przykładowa treść Przesuń do górnego rzędu te liczby, które są pierwiastkami wielomianu W(x).
Program korzysta z następujących parametrów:
p — liczba pierwiastków wielomianu,
up — liczba prawidłowych pierwiastków ucznia,
ub — liczba błędnych pierwiastków ucznia.
Otrzymasz liczbę punktów obliczoną według następującego wzoru:
100% · (up – 3 · ub) : p.
Przykład rozwiązania: Jeśli wielomian W(x) ma pięć pierwiastków: –1, 0, 1, 2, 3, a wpiszesz w rozwiązaniu 0, 1, 2, 3, 4, to parametry oceny będą miały następujące wartości:
p = 5 — wielomian W(x) posiada pięć pierwiastków,
up = 4 — tylko cztery pierwiastki wybrałeś prawidłowo: 0, 1, 2, 3,
ub = 1 — wybrałeś jedną liczbę, która nie jest pierwiastkiem wielomianu: 4.
Otrzymasz następującą ocenę:
100% · (4 – 3 · 1) : 5 = 100% · (4 – 3) : 5 = 100% · 1 : 5 = 100% : 5 = 20%.
Przykładowa treść Przesuń do górnego rzędu te liczby, które mogą być pierwiastkami wielomianu W(x).
Program korzysta z następujących parametrów:
p — zlicza, ile liczb jest w prawidłowym rozwiązaniu (ile liczb może być pierwiastkiem wielomianu W(x)),
up — zlicza prawidłowe liczby, które przesunąłeś do górnego rzędu,
ub — zlicza błędne liczby, które przesunąłeś do górnego rzędu.
Otrzymasz liczbę punktów obliczoną według następującego wzoru:
100% · (up – ub) : p.
Przykładowa treść Metodą grupowania rozłóż wielomian W(x) = x5 + x3 – 10 x2 na czynniki nierozkładalne.
Jeśli dobrze wyznaczysz liczbę czynników, to otrzymasz 50% punktów. Pozostałe 50% jest przydzielane według wzoru Ocenianie elementów, tzn.
50% · liczba elementów(R∩U) : liczba elementów(R∪U).
Oznaczenia jak i szczegóły wzoru wypisanego powyżej opisane są w tym miejscu.
Przykładowa treść Rozłóż wielomian W(x) = x4 + 7 x3 + 6 x2 na czynniki nierozkładalne.
Przy ocenianiu program oblicza parametr p, który jest równy liczbie czynników nierozkładalnych w prawidłowym rozwiązaniu. Za każdy prawidłowy czynnik wypisany z prawidłową krotnością otrzymujesz 1 : p punktów. Za prawidłowy czynnik nierozkładalny, ale podany z niepoprawną krotnością otrzymasz 1 : (2p) punktów. Za każdy niepoprawny czynnik (niezależnie od krotności) utracisz 1: (2p) punktów. Następnie program dodaje/odejmuje wszystkie zdobyte punkty i mnoży je przez 100%.
Przykład rozwiązania: Rozkład wielomianu W(x) = x4 + 7 x3 + 6 x2 wygląda następująco: x2 · (x + 1) · (x + 6), składa się zatem z trzech czynników nierozkładalnych: x, x + 1, x + 6, z czego pierwszy ma krotność 2, pozostałe mają krotność 1. Parametr p w tym zadaniu wynosi 3. Jeśli wpiszesz w rozwiązaniu: x · (x – 1)2 · (x + 6), to pierwszy czynnik: x jest prawidłowy, choć ma niepoprawną krotność, drugi: x – 1 jest nieprawidłowy (na krotność już nie patrzymy), a trzeci: x + 6 jest prawidłowy. Otrzymasz zatem 1 : (2p) punktów za pierwszy czynnik, za drugi czynnik stracisz 1 : (2p) punktów i wreszcie za trzeci uzyskasz pełne 1 : p punktów. Ostatecznie ocena za takie rozwiązanie to:
[1 : (2p) – 1 : (2p) + 1 : p] · 100% = (1 : p) · 100% = (1 : 3) · 100% = 33%.
Przykładowa treść Rozwiąż nierówność: (x + 6) (x – 2) (x – 3) < 0.
Rozwiązanie oceniane jest sposobem Ocenianie podzbiorów liczb rzeczywistych IV.
Przykładowa treść Rozwiąż podaną nierówność i zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej.
Przy ocenianiu rozwiązania tego zadania program zlicza występujące w rozwiązaniu figury. Figura to punkt, odcinek, półprosta lub prosta. Obliczane są następujące parametry:
f — liczba figur występujących w prawidłowym rozwiązaniu,
up — liczba prawidłowych figur w Twoim rozwiązaniu,
ub — liczba błędnych figur w Twoim rozwiązaniu.
Ocena wystawiana jest według wzoru:
100% · (up – ub) : f.
Przykład rozwiązania: Rozwiązaniem nierówności –(x + 12) (x + 9) ≤ 0 jest (–∞ ; –12] ∪ [–9 ; +∞). Zatem prawidłowe rozwiązanie składa się z dwóch figur (półprostych): f = 2. Jeśli napiszesz rozwiązanie: (–∞ ; –12] ∪ [9 ; +∞), to pierwsza półprosta (–∞ ; –12] jest prawidłowa, a druga półprosta [9 ; +∞) jest nieprawidłowa, zatem up = 1, ub = 1. Za taką odpowiedź otrzymasz:
100% · (up – ub) : f = 100% · (1 – 1) : 2 = 100% · 0 : 2 = 0.
Przykładowa treść Rozwiąż
nierówność: .
Rozwiązanie oceniane jest sposobem Ocenianie podzbiorów liczb rzeczywistych IV.
Przykładowa treść Rozwiąż podaną nierówność i zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej.
Rozwiązanie oceniane jest sposobem Ocenianie podzbiorów liczb rzeczywistych IV.
Przykładowa treść Przedstaw
wyrażenie w
postaci funkcji wymiernej o współczynnikach całkowitych.
Program porównuje wartości funkcji wymiernej w prawidłowym rozwiązaniu i wartości funkcji wymiernej w Twoim rozwiązaniu. Jeśli gdzieś występują różnice, otrzymujesz 0 punktów. Jeśli Twoje rozwiązanie jest poprawne co do wartości, ale wielomiany w liczniku i mianowniku mają za wysoki stopień, to również otrzymasz 0 punktów.
Przykład rozwiązania: Prawidłowe rozwiązanie wypisanego powyżej zadania to . Dostaniesz 100% punktów nawet, jeśli napiszesz w rozwiązaniu
. Natomiast za rozwiązanie prawidłowe co do wartości, ale z za wysokim stopniem wielomianów, np.
, otrzymasz 0 punktów.
Przykładowa treść Przedstaw wyrażenie
w
postaci sumy wielomianu W(x) i właściwej funkcji wymiernej F(x).
Za wypisanie wielomianu W(x) otrzymasz 50% punktów, jeśli jest on zgodny z prawidłowym rozwiązaniem co do wartości. Program nie odejmuje punktów za nieuporządkowanie, czy brak redukcji wielomianu. Drugie 50% punktów otrzymasz na tej samej zasadzie za funkcję wymierną właściwą F(x). Jeśli funkcja wymierna w Twoim rozwiązaniu jest zgodna co do wartości z funkcją w rozwiązaniu prawidłowym, otrzymujesz pełne 50% punktów, nawet jeśli Twoja odpowiedź nie jest zapisana w najprostszej postaci.
Przykładowa treść Przedstaw w postaci kanonicznej funkcję wymierną.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych współczynników postaci kanonicznej. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za dany współczynnik, jeśli przy jego zapisie popełnisz drobny błąd.
Przykładowa treść Odejmij funkcje wymierne F(x) i G(x).
Program porównuje wartości funkcji wymiernej w prawidłowym rozwiązaniu i wartości funkcji wymiernej w Twoim rozwiązaniu. Jeśli gdzieś występują różnice, otrzymujesz 0 punktów. Jeśli Twoje rozwiązanie jest poprawne co do wartości, ale wielomiany w liczniku i mianowniku mają za wysoki stopień, to również otrzymasz 0 punktów.
Przykład oceniania podobnego zadania znajduje się powyżej.
Przykładowa treść Napisz wzór funkcji homograficznej, której wykres przedstawiono poniżej.
Za wypisanie funkcji otrzymasz 100% punktów, jeśli jest ona zgodna z prawidłowym rozwiązaniem co do wartości. Program nie odejmie punktów nawet jeśli Twoja odpowiedź nie jest zapisana w najprostszej postaci.
Przykładowa treść Narysuj wykres funkcji homograficznej.
Rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%.
Przykładowa treść Przedstaw w postaci ogólnej
funkcję homograficzną, której wykres powstał w wyniku przesunięcia
wykresu funkcji o
3 jednostki w prawo.
Program porównuje wartości funkcji wymiernej w prawidłowym rozwiązaniu i wartości funkcji wymiernej w Twoim rozwiązaniu. Jeśli gdzieś występują różnice, otrzymujesz 0 punktów. Jeśli Twoje rozwiązanie jest poprawne co do wartości, ale wielomiany w liczniku i mianowniku mają za wysoki stopień, to również otrzymasz 0 punktów.
Przykład oceniania podobnego zadania znajduje się powyżej.
Przykładowa treść Uzupełnij tabelkę w taki sposób, aby wielkości były wprost proporcjonalne.
Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.
Przykładowa treść Na wykonanie ogrodzenia ZOO firmy potrzebują odpowiednio 12 dni, 8 dni oraz 24 dni. W jakim czasie można wykonać ogrodzenie, jeżeli zatrudnimy wszystkie firmy jednocześnie.
Rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.