Zasady oceniania
Trygonometria (część II — funkcje trygonometryczne)


Spis treści

Funkcje trygonometryczne

Zamiana jednej funkcji trygonometrycznej na pozostałe funkcje
Porządkowanie funkcji trygonometrycznych
Koło trygonometryczne

Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne
Równanie trygonometryczne. Wersja graficzna
Liczba rozwiązań w zależności od parametru
Wzory redukcyjne

Rysowanie kątów

Rysowanie kąta
Rysowanie kąta znając wartość funkcji trygonometrycznej. Układ współrzędnych
Rysowanie kąta znając wartość funkcji trygonometrycznej. Kątomierz

Stopnie i radiany

Stopnie i radiany
Stopnie i radiany. Wersja graficzna
Porządkowanie stopni i radianów

Prostokąt

Prostokąt
Prostokąt. Rysunek

Funkcje trygonometryczne

Zamiana jednej funkcji trygonometrycznej na pozostałe funkcje

Przykładowa treść Kąt α  jest rozwarty. Ponadto cos α  = –4/5. Oblicz wskazane wartości. Przy wprowadzaniu odpowiedzi do formatki pamiętaj o usunięciu ewentualnej niewymierności z mianownika.

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Utracisz 20% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd. Ponadto, utracisz 60% punktów dostępnych za daną odpowiedź, jeśli będzie ona miała przeciwny znak (np. wpiszesz 3 zamiast –3).

Przykład rozwiązania: Dany jest kąt rozwarty α, dla którego cos α = –4/5. Należy obliczyć tg α oraz ctg α. Prawidłowe rozwiązanie to: tg α = –3/4, ctg α = –4/3. Jeśli wpiszesz w rozwiązaniu tg α = –3/4, ctg α = 8/6, to pierwsza wartość jest obliczona poprawnie, natomiast przy drugiej jest niepoprawny znak i dodatkowo popełniłeś drobny błąd. Za pierwszą wartość otrzymasz pełne 50% punktów. Od odpowiedzi wpisanej przy cotangensie program odejmie 20% + 60% = 80% przysługujących jej punktów. Za takie rozwiązanie otrzymasz: 50% + 10% = 60% punktów.

Porządkowanie funkcji trygonometrycznych

Przykładowa treść Nie posługując się tablicami matematycznymi uporządkuj rosnąco podane wartości.

Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie kolejności.

Koło trygonometryczne

Przykładowa treść Znajdź wskazane poniżej wartości funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego zaznaczonego na rysunku kolorem czerwonym.

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.

Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne

Przykładowa treść 1 Znajdź wszystkie rozwiązania poniższego równania należące do przedziału [0; π].

Rozwiązanie oceniane jest według wzoru Ocenianie liczb. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.

Przykładowa treść 2 Rozwiąż równanie sin x = 1/2.

Program wylicza następujące parametry:

Ocena jest liczona według wzoru:

p – b.

Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną poprawną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.

Przykład rozwiązania: Równanie sin x = 1/2 posiada rozwiązania:

x = 1/6 · π + k · 2π, kZ,

x = 5/6 · π + k · 2π, kZ.

Jeśli wpiszesz:

x = 1/6 · π + k · 2π, kZ,

x = 7/6 · π + k · 2π, kZ.

to pierwsza odpowiedź jest prawidłowa, a druga jest błędna. Zatem parametr p wynosi 50% i tak samo parametr b = 50%. Ostateczna ocena to:

p – b = 50% – 50% = 0.

Równanie trygonometryczne. Wersja graficzna

Przykładowa treść Znajdź wszystkie rozwiązania poniższego równania należące do przedziału [0; 2π]. sin (3x + 3/4 π) = 1. Odpowiedź zaznacz na osi liczbowej.

Rozwiązanie oceniane jest sposobem Ocenianie podzbiorów liczb rzeczywistych IV.

Liczba rozwiązań w zależności od parametru

Przykładowa treść Zbadaj liczbę rozwiązań równania: – cos x – 3 = p w przedziale [0; 2π] w zależności od parametru p.

Jeśli podane rozwiązanie nie będzie funkcją (np. wpiszesz, że dla pewnej wartości parametru p równanie raz posiada 0, a raz 1 rozwiązanie), to otrzymasz 0 punktów.

Jeśli Twoje rozwiązanie będzie funkcją, to ocena liczona jest według wzoru Ocenianie elementów. Ponadto, jeśli rozwiązanie nie będzie zapisane w optymalnej postaci, np. napiszesz, że równanie posiada 0 rozwiązań w przedziale [3 ; 5) i posiada 0 rozwiązań w punkcie {5}, zamiast odpowiedzi: 0 rozwiązań w przedziale [3 ; 5], to utracisz 10% punktów. 

Wzory redukcyjne

Przykładowa treść Posegreguj poniższe wielkości, przenosząc je do tabeli w taki sposób, by dwie funkcje znajdowały się w jednym rzędzie wtedy i tylko wtedy, gdy są sobie równe.

W przypadku, gdy żadne dwie z wymienionych w zadaniu wielkości nie są sobie równe (każda powinna znajdować się w innym rzędzie), ocena wystawiana jest według wzoru 0 lub 100%.

Gdy któreś z występujących w zadaniu wielkości są sobie równe, program wylicza następujące parametry:

Ocena wystawiana jest według wzoru:

100% · (pu – bu) : r.

Przykład rozwiązania: W zadaniu należy posegregować wartości:

sin (x + 1/2 π) sin (x + π) sin (x + 3/2 π) sin x sin (–3/2 π – x) sin (2 π – x) sin (–π – x) sin (x – 2π)

Prawidłowe rozwiązanie to:

sin (x + π) sin (2 π – x)  
sin x sin (x – 2π) sin (–π – x)
sin (x + 3/2 π)    
sin (x + 1/2 π) sin (–3/2 π – x)  

Wypisujemy równości występujące w rozwiązaniu:

W sumie otrzymujemy pięć równości. Zatem r = 5.

Jeśli wpisałeś rozwiązanie:

sin (x + π) sin (2 π – x)  
sin x sin (x – 2π) sin (–π – x)
sin (x + 3/2 π) sin (–3/2 π – x)  
sin (x + 1/2 π)  
 

to masz cztery poprawne równości (w pierwszym i drugim rzędzie) oraz jedną błędną równość (w rzędzie trzecim). Zatem pu = 4, bu = 1. Zatem Twoja ocena to:

100% · (pu – bu) : r = 100% · (4 – 1) : 5 = 100% · 3 : 5 = 60%.

Rysowanie kątów

Rysowanie kąta

Przykładowa treść Narysuj kąt o mierze α = π.

Rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%.

Rysowanie kąta znając wartość funkcji trygonometrycznej. Układ współrzędnych

Przykładowa treść Na rysunku zaznaczono pierwsze ramię SA mniejszego z kątów α, 0° ≤ α < 360°, spełniających warunek tg α = 4/3. Narysuj jego drugie ramię.

Rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%.

Rysowanie kąta znając wartość funkcji trygonometrycznej. Kątomierz

Przykładowa treść Na rysunku zaznaczono pierwsze ramię większego z kątów α, 0° ≤ α < 360°, spełniających warunek cos α = 1/2. Narysuj jego drugie ramię.

Rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%.

Stopnie i radiany

Stopnie i radiany

Przykładowa treść Zamień wartości wyrażone w stopniach na radiany.

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.

Stopnie i radiany. Wersja graficzna

Przykładowa treść Zaznacz na osi podane kąty. 90°; 135°; 195°; 300°.

Program zlicza kąty w rozwiązaniu, które są zaznaczone na osi w prawidłowych miejscach — p. Następnie zlicza kąty, które zaznaczyłeś na osi w nieprawidłowych miejscach — n. Ocena wystawiana jest według wzoru:

100% · (p – n) : (liczba kątów w zadaniu).

Porządkowanie stopni i radianów

Przykładowa treść Uporządkuj malejąco podane wartości.

Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie kolejności.

Prostokąt

Prostokąt

Przykładowa treść W prostokącie długość jednego boku wynosi 4, a tangens kąta leżącego naprzeciw drugiego boku wynosi –4√ . Oblicz długości drugiego boku b, przekątnej d oraz pole prostokąta S. Przy wprowadzaniu odpowiedzi do formatki pamiętaj o usunięciu ewentualnej niewymierności z mianownika.

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.

Prostokąt. Rysunek

Przykładowa treść Wiedząc, że tg γ = 3√ 7  oblicz długości boku b i przekątnej d oraz pole prostokąta S. Przy wprowadzaniu odpowiedzi do formatki pamiętaj o usunięciu ewentualnej niewymierności z mianownika.

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.