Zasady oceniania
Wielomiany i funkcje wymierne


Spis treści

Wielomian

Uporządkuj wielomian
Utwórz wielomian
Współczynniki wielomianu
Stopień i suma współczynników
Przykład wielomianu

Wielomiany

Działania na wielomianach
Dzielenie wielomianów
Wielomiany — parametry
Schemat Hornera
Reszty z dzielenia wielomianów

Pierwiastki wielomianu

Wyznacz pierwiastki wielomianu
Wybierz pierwiastki wielomianu
Prawdopodobne pierwiastki wielomianu

Rozkład wielomianu

Metoda grupowania
Rozkład na czynniki nierozkładalne

Nierówności

Nierówność
Nierówność. Wersja graficzna
Nierówność wymierna
Nierówność wymierna. Wersja graficzna

Funkcja wymierna

Wyrażenie wymierne
Właściwa funkcja wymierna
Postać kanoniczna
Działania na funkcjach wymiernych

Homografia

Homografia
Homografia. Rysunek
Homografia. Przesunięcie

Inne

Proporcjonalność
Zadanie tekstowe

Wielomian

Uporządkuj wielomian

Przykładowa treść Wyrażenie zapisz w postaci uporządkowanego wielomianu.

Jeżeli zadanie polega tylko na uporządkowaniu wielomianu, to rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%.

Jeśli wielomian występujący w zadaniu ma skomplikowaną postać (postać iloczynowa lub złożenie z funkcjami liniowymi), to rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów II.

Utwórz wielomian

Przykładowa treść Utwórz wielomian W zmiennej z, znając jego niezerowe współczynniki: a0 = 9; a3 = 5.

Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów.

Współczynniki wielomianu

Przykładowa treść Dany jest wielomian W(x) = x8 + x7 – 7 x6 + 8 x5 + 5 x4 – 6 x3 + x – 3. Wyznacz wskazane wartości. Symbolem an oznaczamy współczynnik wielomianu przy xn.

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.

Stopień i suma współczynników

Przykładowa treść Dany jest wielomian W(x) = (–2 x8 + x7 + 4)8 + (2 x8 – 3 x4 + 2)8. Nie wykonując działania, wyznacz stopień wielomianu W(x).

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi.

Przykład wielomianu

Przykładowa treść Podaj przykład wielomianu minimalnego stopnia o współczynnikach całkowitych o podanych pierwiastkach: –6; –5; –1; 1.

Program korzysta z następujących parametrów:

Otrzymasz liczbę punktów obliczoną według następującego wzoru:

100% · (up – ub) : p – 10% · (n + r).

Wielomiany

Działania na wielomianach

Przykładowa treść Odejmij wielomian V(z) od wielomianu W(z).

Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów III.

Dzielenie wielomianów

Przykładowa treść 1 Wykonaj dzielenie wielomianów W i P. W odpowiedzi podaj iloraz dzielenia, a pomiń resztę

Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów V. Ponadto, jeśli wielomian w Twoim rozwiązaniu będzie miał stopień inny niż wielomian w prawidłowym rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.

Przykładowa treść 2 Wykonaj dzielenie z resztą wielomianów W i P.

Pierwsze 50% punktów jest przyznawane za wynik dzielenia wielomianów na zasadzie Ocenianie wielomianów V. Przy czym, jeśli wielomian będący wynikiem dzielenia w Twoim rozwiązaniu będzie miał stopień inny niż wielomian w prawidłowym rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.
Pozostałe 50% punktów jest przyznawane za resztę z dzielenia wielomianów na zasadzie Ocenianie wielomianów V. Przy czym, jeśli wielomian będący resztą z dzielenia w Twoim rozwiązaniu będzie miał stopień większy niż reszta w prawidłowym rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.

Przykładowa treść 3 Wykonaj dzielenie z resztą wielomianów W i P oraz sprawdzenie.

Pierwsze 33% punktów jest przyznawane za wynik dzielenia wielomianów na zasadzie Ocenianie wielomianów V. Przy czym, jeśli wielomian będący wynikiem dzielenia w Twoim rozwiązaniu będzie miał stopień inny niż wielomian w prawidłowym rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.
Drugie 33% punktów jest przyznawane za resztę z dzielenia wielomianów na zasadzie Ocenianie wielomianów V. Przy czym, jeśli wielomian będący resztą z dzielenia w Twoim rozwiązaniu będzie miał stopień większy niż reszta w prawidłowym rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.
Pozostałe 34% punktów jest przyznawane za sprawdzenie dzielenia na zasadzie Ocenianie wielomianów V.

Przykładowa treść 4 Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez P.

Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów V. Ponadto, jeśli wielomian w Twoim rozwiązaniu będzie miał stopień większy niż wielomian w prawidłowym rozwiązaniu, otrzymasz 0 punktów.

Przykładowa treść 5 Wyznacz taki wielomian W, który przy dzieleniu przez P daje wynik Q i resztę R.

Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów V.

Wielomiany — parametry

Przykładowa treść Wyznacz parametry a, b oraz c, dla których wielomiany W(x) i P(x) są równe.

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.

Schemat Hornera

Przykładowa treść 1 Używając schematu Hornera wyznacz iloraz V(x) i resztę r z dzielenia wielomianu W(x) = 2 x4 + 8 x2 + 10 x – 2 przez x + 1.

30% punktów jest rozdzielone według wzoru Ocenianie wielomianów III za wyliczenie ilorazu V(x). Kolejne 20% punktów jest przyznawane za obliczenie reszty z dzielenia wielomianów. Pozostałe 50% punktów otrzymujesz za wypełnienie tabelki schematu Hornera procentowo za liczbę poprawnych odpowiedzi

Przykładowa treść 2 Używając schematu Hornera wyznacz wartość wielomianu W(x) = 3 x5 6 x4 4 x2 + 4 x +7 w punkcie x = 1.

Jeśli poprawnie wyznaczysz wartość wielomianu w punkcie, to otrzymasz 20% punktów. Pozostałe 80% punktów otrzymujesz za wypełnienie tabelki schematu Hornera procentowo za liczbę poprawnych odpowiedzi

Reszty z dzielenia wielomianów

Przykładowa treść Wielomian W(x) daje przy dzieleniu przez x resztę 1, a przy dzieleniu przez x – 5 resztę –44. Wyznacz resztę R(x) z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian V(x) = x (x – 5).

Rozwiązanie oceniane jest metodą Ocenianie wielomianów IV.

Pierwiastki wielomianu

Wyznacz pierwiastki wielomianu

Przykładowa treść 1 Znajdź pierwiastki wielomianu W(x) = x4 – 4 x3 – 21 x2 – 23 x – 8.

Otrzymasz liczbę punktów obliczoną według wzoru Ocenianie liczb. Ponadto utracisz 20% punktów, jeśli wpiszesz jakiś pierwiastek więcej niż raz.

Przykładowa treść 2 Znajdź krotności podanych pierwiastków wielomianu W(x) = 2 x3 + 13 x2  32 x + 17.

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi.

Przykładowa treść 3 Znajdź pierwiastki wielomianu W(x) = 4 x3 – 32 x2 + 69 x – 45 i ich krotności.

70% punktów jest przydzielane za prawidłowo wyznaczone pierwiastki według wzoru Ocenianie liczb. Pozostałe 30% punktów jest przydzielane za wypisanie krotności pierwiastków procentowo za liczbę poprawnych odpowiedzi. Ponadto utracisz 20% punktów, jeśli wpiszesz jakiś pierwiastek więcej niż raz.

Wybierz pierwiastki wielomianu

Przykładowa treść Przesuń do górnego rzędu te liczby, które są pierwiastkami wielomianu W(x).

Program korzysta z następujących parametrów:

Otrzymasz liczbę punktów obliczoną według następującego wzoru:

100% · (up – 3 · ub) : p.

Przykład rozwiązania: Jeśli wielomian W(x) ma pięć pierwiastków: –1, 0, 1, 2, 3, a wpiszesz w rozwiązaniu 0, 1, 2, 3, 4, to parametry oceny będą miały następujące wartości:

Otrzymasz następującą ocenę:

100% · (4 – 3 · 1) : 5 = 100% · (4 – 3) : 5 = 100% · 1 : 5 = 100% : 5 = 20%.

Prawdopodobne pierwiastki wielomianu

Przykładowa treść Przesuń do górnego rzędu te liczby, które mogą być pierwiastkami wielomianu W(x).

Program korzysta z następujących parametrów:

Otrzymasz liczbę punktów obliczoną według następującego wzoru:

100% · (up – ub) : p.

Rozkład wielomianu

Metoda grupowania

Przykładowa treść Metodą grupowania rozłóż wielomian W(x) = x5 + x3 – 10 x2 na czynniki nierozkładalne.

Jeśli dobrze wyznaczysz liczbę czynników, to otrzymasz 50% punktów. Pozostałe 50% jest przydzielane według wzoru Ocenianie elementów, tzn.

50% · liczba elementów(R∩U) : liczba elementów(R∪U).

Oznaczenia jak i szczegóły wzoru wypisanego powyżej opisane są w tym miejscu.

Rozkład na czynniki nierozkładalne

Przykładowa treść Rozłóż wielomian W(x) = x4 + 7 x3 + 6 x2 na czynniki nierozkładalne.

Przy ocenianiu program oblicza parametr p, który jest równy liczbie czynników nierozkładalnych w prawidłowym rozwiązaniu. Za każdy prawidłowy czynnik wypisany z prawidłową krotnością otrzymujesz 1 : p punktów. Za prawidłowy czynnik nierozkładalny, ale podany z niepoprawną krotnością otrzymasz 1 : (2p) punktów. Za każdy niepoprawny czynnik (niezależnie od krotności) utracisz 1: (2p) punktów. Następnie program dodaje/odejmuje wszystkie zdobyte punkty i mnoży je przez 100%.

Przykład rozwiązania: Rozkład wielomianu W(x) = x4 + 7 x3 + 6 x2 wygląda następująco: x2 · (x + 1) · (x + 6), składa się zatem z trzech czynników nierozkładalnych: xx + 1x + 6, z czego pierwszy ma krotność 2, pozostałe mają krotność 1. Parametr p w tym zadaniu wynosi 3. Jeśli wpiszesz w rozwiązaniu: x · (x – 1)2 · (x + 6), to pierwszy czynnik: x jest prawidłowy, choć ma niepoprawną krotność, drugi: x – 1 jest nieprawidłowy (na krotność już nie patrzymy), a trzeci: x + 6 jest prawidłowy. Otrzymasz zatem 1 : (2p) punktów za pierwszy czynnik, za drugi czynnik stracisz 1 : (2p) punktów i wreszcie za trzeci uzyskasz pełne 1 : p punktów. Ostatecznie ocena za takie rozwiązanie to:

[1 : (2p) – 1 : (2p) + 1 : p] · 100% = (1 : p) · 100% = (1 : 3) · 100% = 33%.

Nierówności

Nierówność

Przykładowa treść Rozwiąż nierówność: (x + 6) (x – 2) (x – 3) < 0.

Rozwiązanie oceniane jest sposobem Ocenianie podzbiorów liczb rzeczywistych IV.

Nierówność. Wersja graficzna

Przykładowa treść Rozwiąż podaną nierówność i zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej.

Przy ocenianiu rozwiązania tego zadania program zlicza występujące w rozwiązaniu figury. Figura to punkt, odcinek, półprosta lub prosta. Obliczane są następujące parametry:

Ocena wystawiana jest według wzoru:

100% · (u– ub) : f.

Przykład rozwiązania: Rozwiązaniem nierówności –(x + 12) (x + 9) ≤ 0 jest (–∞ ; –12] ∪ [–9 ; +∞). Zatem prawidłowe rozwiązanie składa się z dwóch figur (półprostych): f = 2. Jeśli napiszesz rozwiązanie: (–∞ ; –12] ∪ [9 ; +∞), to pierwsza półprosta (–∞ ; –12] jest prawidłowa, a druga półprosta [9 ; +∞) jest nieprawidłowa, zatem up = 1, ub = 1. Za taką odpowiedź otrzymasz:

100% · (u– ub) : f = 100% · (1 – 1) : 2 = 100% · 0 : 2 = 0.

Nierówność wymierna

Przykładowa treść Rozwiąż nierówność: .

Rozwiązanie oceniane jest sposobem Ocenianie podzbiorów liczb rzeczywistych IV.

Nierówność wymierna. Wersja graficzna

Przykładowa treść Rozwiąż podaną nierówność i zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej.

Rozwiązanie oceniane jest sposobem Ocenianie podzbiorów liczb rzeczywistych IV.

Funkcja wymierna

Wyrażenie wymierne

Przykładowa treść Przedstaw wyrażenie  w postaci funkcji wymiernej o współczynnikach całkowitych.

Program porównuje wartości funkcji wymiernej w prawidłowym rozwiązaniu i wartości funkcji wymiernej w Twoim rozwiązaniu. Jeśli gdzieś występują różnice, otrzymujesz 0 punktów. Jeśli Twoje rozwiązanie jest poprawne co do wartości, ale wielomiany w liczniku i mianowniku mają za wysoki stopień, to również otrzymasz 0 punktów.

Przykład rozwiązania: Prawidłowe rozwiązanie wypisanego powyżej zadania to . Dostaniesz 100% punktów nawet, jeśli napiszesz w rozwiązaniu . Natomiast za rozwiązanie prawidłowe co do wartości, ale z za wysokim stopniem wielomianów, np. , otrzymasz 0 punktów.

Właściwa funkcja wymierna

Przykładowa treść Przedstaw wyrażenie  w postaci sumy wielomianu W(x) i właściwej funkcji wymiernej F(x).

Za wypisanie wielomianu W(x) otrzymasz 50% punktów, jeśli jest on zgodny z prawidłowym rozwiązaniem co do wartości. Program nie odejmuje punktów za nieuporządkowanie, czy brak redukcji wielomianu. Drugie 50% punktów otrzymasz na tej samej zasadzie za funkcję wymierną właściwą F(x). Jeśli funkcja wymierna w Twoim rozwiązaniu jest zgodna co do wartości z funkcją w rozwiązaniu prawidłowym, otrzymujesz pełne 50% punktów, nawet jeśli Twoja odpowiedź nie jest zapisana w najprostszej postaci.

Postać kanoniczna

Przykładowa treść Przedstaw w postaci kanonicznej funkcję wymierną.

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych współczynników postaci kanonicznej. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za dany współczynnik, jeśli przy jego zapisie popełnisz drobny błąd.

Działania na funkcjach wymiernych

Przykładowa treść Odejmij funkcje wymierne F(x) i G(x).

Program porównuje wartości funkcji wymiernej w prawidłowym rozwiązaniu i wartości funkcji wymiernej w Twoim rozwiązaniu. Jeśli gdzieś występują różnice, otrzymujesz 0 punktów. Jeśli Twoje rozwiązanie jest poprawne co do wartości, ale wielomiany w liczniku i mianowniku mają za wysoki stopień, to również otrzymasz 0 punktów.

Przykład oceniania podobnego zadania znajduje się powyżej.

Homografia

Homografia

Przykładowa treść Napisz wzór funkcji homograficznej, której wykres przedstawiono poniżej.

Za wypisanie funkcji otrzymasz 100% punktów, jeśli jest ona zgodna z prawidłowym rozwiązaniem co do wartości. Program nie odejmie punktów nawet jeśli Twoja odpowiedź nie jest zapisana w najprostszej postaci.

Homografia. Rysunek

Przykładowa treść Narysuj wykres funkcji homograficznej.

Rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%

Homografia. Przesunięcie

Przykładowa treść Przedstaw w postaci ogólnej funkcję homograficzną, której wykres powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji  o 3 jednostki w prawo.

Program porównuje wartości funkcji wymiernej w prawidłowym rozwiązaniu i wartości funkcji wymiernej w Twoim rozwiązaniu. Jeśli gdzieś występują różnice, otrzymujesz 0 punktów. Jeśli Twoje rozwiązanie jest poprawne co do wartości, ale wielomiany w liczniku i mianowniku mają za wysoki stopień, to również otrzymasz 0 punktów.

Przykład oceniania podobnego zadania znajduje się powyżej.

Inne

Proporcjonalność

Przykładowa treść Uzupełnij tabelkę w taki sposób, aby wielkości były wprost proporcjonalne.

Otrzymasz liczbę punktów procentowo odpowiadającą liczbie poprawnych odpowiedzi. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za daną odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.

Zadanie tekstowe

Przykładowa treść Na wykonanie ogrodzenia ZOO firmy potrzebują odpowiednio 12 dni, 8 dni oraz 24 dni. W jakim czasie można wykonać ogrodzenie, jeżeli zatrudnimy wszystkie firmy jednocześnie.

Rozwiązanie oceniane jest metodą 0 lub 100%. Ponadto otrzymasz tylko 80% punktów za odpowiedź, jeśli przy jej zapisie popełnisz drobny błąd.