Home

1

2

3

4

Jak Fibonacci postrzegał piękno?

Czym właściwie jest piękno?

Czym jest ciąg Fibonacciego?

Poznaj rządzące nim zasady i wartości.

Poznaj profesora Fibonacciego!

Zapoznaj się z jego biografią!

Leonardo Fibonacci do historii przeszedł jako twórca tzw. ciągu Fibonacciego i liczby φ. Oba pojęcia są ze sobą powiązane. Ciąg Fibonacciego rozwija się według zasady: dodajemy pierwszą do siebie samej, sumą jest druga. Kolejnym krokiem jest dodanie drugiej do trzeciej, która to suma daje czwartą, i tak w nieskończoność. Najprostszy przykład takiego ciągu to: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Jeśli podzielimy dowolną liczbę ciągu przez liczbę ją poprzedzającą otrzymamy iloraz bliski wartości 1,618 czyli liczbę Fidiasza φ (czyt. fi).

W kształtach wielu roślin można odnaleźć linie spiralne. Owoc ananasa ma 8 takich linii i biegną one w jedną stronę, a 5 lub 13 w przeciwną. Budowę spiralną mają również różyczki kalafiora. Na tarczy słonecznika może się krzyżować 55 z 89 spiral (liczby te bywają większe). U większości roślin takie organy, jak łodyga, liście czy kwiaty rozwijają się z małego, centralnie usytuowanego skupiska komórek. Każdy zawiązek nowego organu wyrasta z centralnego punktu w innym kierunku, pod pewnym kątem w stosunku do zawiązka, który pojawił się wcześniej. Okazuje się, że u wielu roślin ten kąt jest taki sam i że to właśnie dzięki niemu powstają wspomniane linie spiralne.

Ten kąt to w przybliżeniu 137,5 stopnia (jest to tak zwany "Złoty kąt"). "Złotego kąta" nie da się wyrazić ułamkiem zwykłym. Jego dopełnienie do 360 stopni wynosi w przybliżeniu 5/8 kąta pełnego, dokładniej jest to 8/13 kąta pełnego, jeszcze dokładniej 13/21 i tak dalej (oparcie na liczbach Fibonacciego), ale żaden ułamek zwykły nie odpowiada mu ściśle. Kiedy pojawiają się kolejne zawiązki, to jeśli każdy następny utworzy z poprzednim wspomniany "złoty kąt", nigdy nie dojdzie do tego, by dwa z nich (lub więcej) rozwijały się w tym samym kierunku. Dzięki temu organy układają się spiralnie.

Projekt:

"Zablocki Pictures"

Wykonanie:

Maciej Zabłocki

Copyright 2013.

Na wyłączność Politechniki Warszawskiej, w ramach projektu: Archipelag Matematyki - biografie wybitnych matematyków.

Warto również wspomnieć, iż ciąg liczb Fibonacciego w sposób dość zauważalny egzystuje w muzyce. Podobno dzięki zachowaniu odpowiednich proporcji budowy instrumentów muzycznych można wydobyć z nich wysokiej jakości dźwięki, służące do tworzenia wspaniałych utworów. Ciąg liczb Fibonacciego:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, itd.
Węgierski muzykolog Erno Lendvai wykrył wiele takich zależności w muzyce Beli Bartóka, przede wszystkim w Muzyce na instrumenty strunowe, perkusję i czelestę, gdzie w cz. I kolejne odcinki formy zaczynają się w następującym porządku:

• zakończenie ekspozycji - t. 21
• początek stretto - t. 34
• kulminacja części - t. 55
• koniec części - t. 89. Ciąg Fibonacciego został użyty również we współczesnej muzyce. Zespół Tool w albumie Lateralus w tytułowym utworze użył ciągu Fibonacciego do stworzenia linii wokalnej. Czym jest piękno? Czy jego istotę da się opisać przy pomocy matematycznych terminów i wzorów? Od czasów starożytnych wiemy, że tak zwana złota proporcja, nie bez powodów zwana też "boską", jest w niezwykły sposób związana z tym, co postrzegamy jako harmonię w naturze i w sztuce.

BIBLIOGRAFIA:

Heinz Luneburg, Leonardi Pisani Liber abbaci oder lesevergnugen eines mathematikers/ von Heinz Luneburg. Mannheim: Bl Wissenschftsverlag, cop.1993.

2.Leonardo z Pizy ( ca 1180 –ca 1250). The book of squares/ Leonardo Pisano Fibonacc; an annotated translation into modern english by L.E. Sigler. Boston: Academoc Press,INC,1978

3.Leonardo z Pizy ( ca 1180-ca1250). Fibonacci`s De Practica geometrie/ ed.by Barnabas Hughes

4.Leonardo z Pizy. Liber abaci. Fibonacci`s Liber abaci. Transl. by L.E. Sigler. New York:Springer, 2002

5.www.matematycy.interklasa.pl/biografie/matematyk.

6.Fibonacci i jego liczby... Copyright © 2002 by Szymon Członkowski & Ziemowit Plewicki & Jacek Cichowski

7.free.of.pl/f/fibonacci/wystepowanie.html

8.Fibonacci - Encyklopedia Naukowy.p - encyklopedia.naukowy.pl/Fibonacci‎

9. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fibonacci.html

10.http://www.britannica.com/EBchecked/topic/336467/Leonardo-Pisano

11. blogmalinowskiego.blogspot.com/.../fibonacci-popularyzator-i-matemat...‎

Znajdziemy ją w tajemniczym uśmiechu Mona Lisy, w sposobie, w jaki uformowane są płatki róż, w niezwykłych kształtach zwierząt, wreszcie w strukturze spiralnych galaktyk. Już w starych kulturach Majów i Egipcjan a potem w starożytnej Grecji i Rzymie znano i doceniano harmonię tworzoną dzięki tzw. złotemu podziałowi. Ze złotym podziałem mamy do czynienia wtedy, gdy podzielimy odcinek na dwa odcinki tak, by stosunek krótszego z nich do dłuższego był taki sam jak dłuższego do całego pierwotnego odcinka. Przy zachowaniu takiej proporcji dłuższy odcinek jest, więc średnią geometryczną odcinków pierwotnego i mniejszego.

Czy wiesz, że... Czy wiecie że ciąg liczb Fibonacciego można znaleźć w budowie następujących zwierząt i roślin: 1. Liczby rozgałęzień wyrastających z łodygi rośliny.
2. Liczba płatków występujących w kwiatach niektórych roślin
3. Budowa muszli niektórych skorupiaków 4. Wzrost populacji królików
5. Struktura atomowa
6. Molekuły DNA
7. Struktura kryształu
8. Orbity planet i galaktyk
9. Układ zwojów w szyszce sosny
10. Proporcje powstające w wirach wodnych
11. Układ spiral tworzonych przez nasiona słonecznika
12. Proporcje zachodzące pomiędzy poszczególnymi prądami powietrznymi tworzącymi huragany.

Kronika Matematyka

Odpal jeden z filmów z poniższego odtwarzacza, by dowiedzieć się więcej o bohaterze niniejszego wydania. Materiały nagrano z pomocą lektora i poddano profesjonalnemu montażowi.

Kliknij na kwadraciki, zarówno te od filmów, jak i te od informacji, żeby je zatrzymać i móc czytać lub oglądać bez przeszkód!

Strona ta skrywa w sobie kilka ciekawostek, które Mogą Cię zainteresować. Najedź na kwadraciki poniżej, a zobaczysz dalszy ciąg tekstu, oraz materiały i zdjęcia bohatera niniejszego wydania.

Najciekawszym przykładem podziału harmonicznego (złotego) jest gwiazda pięcioramienna utworzona z połączenia wierzchołków pentagramu (pięciokąta foremnego) stanowiąca znany symbol zarówno starożytnych jak i obecnych kultur. Do kultury Majów i Egipcjan pentagram trafił dzięki temu, że szlak, jaki przemierza Wenus po nieboskłonie układa się właśnie w pięcioramienna gwiazdę. Dziś ten symbol widnieje na wielu flagach, na pagonach wojskowych i w wielu innych miejscach symbolizując siłę i harmonię.

Ciąg Fibonacciego to ciąg rosnący liczb naturalnych, w którym kolejny element jest sumą dwóch poprzednich a stosunek sąsiadujących liczb większej do mniejszej jest tym bliższy liczbie Φ im dalej posuwamy się w liczbach tego ciągu. Pierwsze liczby tego ciągu to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Na planie pentagramu, rysując tzw. obraz witruwiański, Leonardo da Vinci umieścił ciało człowieka, pokazując jak według złotej proporcji zbudowany jest człowiek.

- Czy są jakieś wieści od Fibonacciego, zawołał cesarz Fryderyk II do swoich sług wyraźnie zniecierpliwiony brakiem nowych informacji od swojego przyjaciela - Na razie brak – usłyszał w odpowiedzi, może znów podróżuje w celach naukowych. Bo Leonardo Pisano, zwany Fibonaccim, urodzony około roku 1175 w rodzinie dyplomaty Guiliamo bardzo dużo podróżował. Początkowo przebywał i kształcił się od arabskich nauczycieli w dzisiejszej algierskiej Bidżaii, potem już samotnie przemierzał Syrię, Egipt, Prowansję, Sycylię i Grecję. Poznawał w ten sposób matematykę tworzoną przez myślicieli europejskich i arabskich. Między innymi dziesiętny system liczbowy.

O ile historia matematyki posiada w kręgu kultury zachodnioeuropejskiej bardzo bogatą tradycję, o tyle historia tego co dziś po prostu określa się mianem liczb, rozpoczyna się dopiero w roku 1202, kiedy to we Włoszech zostaje wydane dzieło pod tytułem Liber Abac W Liber Abaci, gdzie opisał system pozycyjny liczb i wyłożył podstawy arytmetyki. W pracy tej przedstawił większość swojego dorobku matematycznego, gromadzonego przez lata, zamieścił tam również np. tablicę, w której pewne liczby zapisane były rzymskimi i jednocześnie indyjskimi cyframi. To dzieło nie jest tylko wykładem suchej teorii matematycznej, ale...

...zawiera również wiele praktycznych zastosowań i to przyniosło naszemu bohaterowi ogromną sławę i uznanie samego cesarza i jego dworu. To prawdziwy geniusz! – zawołał cesarz czytając jego pracę. Tak narodziła się przyjaźń między potężnym cesarzem i wybitnym myślicielem, która zaowocowała „Księgą kwadratów” (Librum Qvadratorum), a zadedykowana została samemu imperatorowi. Nie wiemy jaki miał charakter, jak mieszkał, co lubił robić poza matematyką. Jedno jest pewne był jednym z najwybitniejszych myślicieli swoich czasów. Zmarł w Italii około roku 1250 pozostawiając idee do dziś pogłębiane przez współczesnych naukowców.